「あと何年生きられるか」を式にする―生命表で読み解く平均余命Tx/lx

【テーマ】生命表における平均余命の定義と、生存数（lx）・定常人口（Tx）との関係を問う問題である。選択肢は数式で示されており、a: T0/l0、b: Tx/lx、c: Tx+1/lx+1、d: T0/l0 − x、e: Tx/lx + x である。

用語の確認

・生存数 lx: 生命表では出生時の10万人（l0 = 100,000）が、その年の年齢別死亡率に従って死亡していくと仮定する。そのうちx歳ちょうどに達するまで生き残っている人数がlxである。 ・定常人口 Lx: 毎年10万人が生まれ、年齢別死亡率が一定のまま変わらないと仮定すると、人口の総数も年齢構成も一定に保たれる。この仮想的な人口のうち、x歳以上x+1歳未満の人数をLxという。これは、x歳に達したlx人がその1年間に生存した延べ年数（人年）に等しい。 ・Tx: x歳以上の定常人口の合計、すなわち Tx = Lx + Lx+1 + Lx+2 + … である。言い換えると、x歳に達したlx人が、x歳以降に死亡するまでに生きる年数の総和（延べ生存年数）である。

平均余命の導き方

x歳の平均余命（ex）とは、x歳に達した人が、その後平均してあと何年生きられるかという期待値である。x歳以降の延べ生存年数Txを、x歳時点の生存者数lxで割れば、1人当たりの残りの生存年数が求められる。 　ex = Tx / lx 生存数を縦軸、年齢を横軸にとった生存曲線を描くと、Txはx歳より右側の曲線の下の面積に相当し、それを曲線の高さlxで割ったものが平均余命であるとイメージするとわかりやすい。

簡単な計算例

例えば、ある年齢xで1,000人が生存しており、その人々がx歳以降に生きる年数をすべて合計すると30,000人年になるとすれば、Tx = 30,000、lx = 1,000 であり、平均余命は 30,000 ÷ 1,000 = 30年となる。

生命表の主な関数

・死亡率 qx: x歳ちょうどの人がx+1歳に達する前に死亡する確率 ・生存数 lx: 出生10万人のうちx歳に達するまで生き残る人数（lx+1 = lx × (1 − qx)） ・死亡数 dx: x歳以上x+1歳未満で死亡する人数（dx = lx − lx+1） ・定常人口 Lx: x歳以上x+1歳未満の定常人口（x歳に達した人がその1年間に生きる延べ年数） ・Tx: x歳以上の定常人口の総和（Tx = Σ Lx） ・平均余命 ex = Tx / lx ・平均寿命 = 0歳の平均余命 e0 = T0 / l0

平均寿命・平均余命の性質

・生命表はある期間の年齢別死亡率をもとに作られる仮想集団の指標であり、年齢構成の影響を受けないため、異なる集団や時代の健康水準の比較に用いられる。平均寿命は総合的な保健福祉水準の指標とされる。 ・日本では厚生労働省が、国勢調査と人口動態統計をもとに5年ごとに完全生命表、毎年推計人口をもとに簡易生命表を作成・公表している。 ・平均余命は年齢が上がるにつれて必ず短くなるとは限らない。乳児死亡率が高い集団では、危険な時期を乗り越えた1歳の平均余命が0歳の平均余命（平均寿命）より長くなることがある。 ・x歳の平均余命にxを足した値は年齢が高いほど大きくなる。高齢まで生き残った人ほど、平均的にはより高い年齢まで生きると期待される。