確率に掛けてはいけない―「オッズ」を経由して読み解く尤度比と検査後確率

検査前確率と尤度比から検査後確率を求める問題である。確率のまま尤度比を掛けることはできず、いったん「オッズ」に変換してから尤度比を掛け、最後に確率へ戻す、という手順を踏む。

用語の確認

・確率 p：全体のうち、その疾患をもつ人の割合。 ・オッズ：疾患をもつ人ともたない人の比。オッズ = p ÷（1 − p）。 ・尤度比：ある検査結果が、疾患のある人では疾患のない人に比べて何倍出やすいかを表す値。陽性尤度比 = 感度 ÷（1 − 特異度）。 ・基本式：検査後オッズ = 検査前オッズ × 尤度比

計算手順

1. 検査前確率をオッズに変換する：検査前オッズ = 0.2 ÷（1 − 0.2）= 0.2 ÷ 0.8 = 0.25（= 1/4） 2. 尤度比を掛ける：検査後オッズ = 0.25 × 4 = 1 3. オッズを確率に戻す：検査後確率 = 検査後オッズ ÷（1 + 検査後オッズ）= 1 ÷（1 + 1）= 0.5 よって検査後確率は50%である。

四分割表による確認

公式を覚えていなくても、尤度比が4となる感度・特異度を仮に設定すれば同じ答えが得られる。例えば感度40%、特異度90%とすると、陽性尤度比 = 0.4 ÷（1 − 0.9）= 4 となる。1,000人の集団で考えると、患者は200人（20%）、非患者は800人である。 ・患者200人のうち検査陽性は 200 × 0.4 = 80人 ・非患者800人のうち検査陽性（偽陽性）は 800 × 0.1 = 80人 陽性者160人のうち患者は80人なので、検査後確率（陽性的中率）は 80 ÷ 160 = 50% となり、上の計算と一致する。感度・特異度の組み合わせを変えても、尤度比が4であれば結果は同じになる。

オッズから確率への戻し方の導出

検査後確率を p とすると、検査後オッズ O = p ÷（1 − p）である。これを p について解くと、O（1 − p）= p → O = p（1 + O）→ p = O ÷（1 + O）となる。

尤度比の定義

・陽性尤度比（LR+）= 感度 ÷（1 − 特異度）= 真陽性率 ÷ 偽陽性率 ・陰性尤度比（LR−）=（1 − 感度）÷ 特異度 = 偽陰性率 ÷ 真陰性率 尤度比は感度と特異度から求まる検査固有の指標であり、有病率（検査前確率）には左右されない。

尤度比の目安

・LR+ が10以上、あるいはLR− が0.1以下：検査後確率を大きく動かし、診断の確定・除外に有用。 ・LR+ が5〜10、LR− が0.1〜0.2：中等度に有用。 ・LR が1：検査前後で確率が変わらず、診断に役立たない。

検査前確率と陽性的中率

同じ尤度比の検査でも、検査前確率（有病率）が高い集団では検査後確率も高くなり、低い集団では陽性でも検査後確率は低いままにとどまる。例えば本問と同じ尤度比4でも、検査前確率が1%（オッズ約0.0101）なら検査後オッズは約0.040、検査後確率は約3.9%にすぎない。スクリーニング検査で陽性的中率が低くなりやすいのはこのためである。

関連する指標

・感度：疾患のある人のうち検査陽性となる割合。 ・特異度：疾患のない人のうち検査陰性となる割合。 ・陽性的中率：検査陽性者のうち実際に疾患のある人の割合。検査陽性時の検査後確率に相当する。 ・陰性的中率：検査陰性者のうち実際に疾患のない人の割合。